Question

如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左右焦点F₁、F₂为顶点的三角形的周长为。一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF₁和PF₂与椭圆的焦点分别为A、B和C、D。

（1）求椭圆和双曲线的标准方程

（2）设直线PF₁、PF₂的斜率分别为k₁、k₂，证明：k₁·k₂=1

（3）是否存在常数，使得|AB|+|CD|=|AB|·|CD|恒成立？

若存在，求的值，若不存在，请说明理由。

Answer

（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为，得，又，得，，所以所以椭圆的标准方程为；  ……2

所以椭圆的焦点坐标为（，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，

所以该双曲线的标准方程为。        …………4

（Ⅱ）设点P（，），=，=，∴=…6

点P（，）在双上，有，即，∴=1  ……8

（Ⅲ）假设存在常数，使得恒成立，则由（Ⅱ）知，所以设直线AB的方程为，则直线CD的方程为，

由方程组消y得：，设，，

则由韦达定理得：     ……………9

所以|AB|==，同理可得     ……………10

|CD|===，  …………11

又因为，

所以有=+=，

所以存在常数，成立。 

【解析】略