Question

.(12分)如图，在四棱台ABCD－A₁B₁C₁D₁中，下底ABCD是边长为2的正方形，上底A₁B₁C₁D₁是边长为1的正方形，侧棱DD₁⊥平面ABCD，DD₁＝2.

(1)求证：B₁B∥平面D₁AC；

(2)求证：平面D₁AC⊥平面B₁BDD₁.

Answer

证明： (1)设AC∩BD＝E，连结D1E，

∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1.

∴B1D1∥BE，∵B1D1＝BE＝，

∴四边形B1D1EB是平行四边形，

所以B1B∥D1E.

又因为B1B⊄平面D1AC，D1E⊂平面D1AC，

所以B1B∥平面D1AC   ---------------------------------------6分

(2)证明：侧棱DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

∴AC⊥DD1.

∵下底ABCD是正方形，AC⊥BD.

∵DD1与DB是平面B1BDD1内的两条相交直线，

∴AC⊥平面B1BDD1

∵AC⊂平面D1AC，∴平面D1AC⊥平面B1BDD1.---------------------12分

【解析】略