Question

(12分)如图所示，以AB＝4 cm，BC＝3 cm的长方形ABCD为底面的长方体被平面斜着截断的几何体，EFGH是它的截面．当AE＝5 cm，BF＝8 cm，CG＝12 cm时，试回答下列问题：

(1)求DH的长；

(2)求这个几何体的体积；

(3)截面四边形EFGH是什么图形？证明你的结论．

Answer

【解析】
(1)过E作EB1⊥BF，垂足为B1，则BB1＝AE＝5(cm)，

所以B1F＝8－5＝3(cm)．

因为平面ABFE∥平面DCGH，EF和HG是它们分别与截面的交线，所以EF∥HG.

过H作HC1⊥CG，垂足为C1，

则GC1＝FB1＝3(cm)，

DH＝12－3＝9(cm)．   -----------------------------------    4分

(2)作ED1⊥DH，垂足为D1，B1P⊥CG，垂足为P，连结D1P，B1C1，则几何体被分割成一个长方体ABCD－EB1PD1，一个斜三棱柱EFB1－HGC1，一个直三棱柱EHD1－B1C1P.从而几何体的体积为

V＝3×4×5＋×3×4×3＋×3×4×4＝102(cm3)．--------------8分

(3)是菱形．

证明：由(1)知EF∥HG，同理EH∥FG.于是EFGH是平行四边形．

因为EF＝＝

＝5(cm)，

DD1＝AE＝5(cm)，ED1＝AD＝3(cm)，

HD1＝4(cm)，

所以EH＝＝

＝5(cm)．

所以EF＝EH.

故EFGH是菱形．  ------------------------------------------12分

【解析】略