Question

（本小题满分12）如图①在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD=2，E，F，G分别是线段PC、PD，BC的中点，现将ΔPDC折起，使PD⊥平面ABCD（如图②）

（1）求证AP∥平面EFG；

（2）求平面EFG与平面PDC所成角的大小；

（3）求点A到平面EFG的距离。

Answer

解法一：（Ⅰ）如图. 以D为坐标原点，直线DA、DC、DP分别为与z轴建立空间直角坐标系：                                    

则     

设平面GEF的法向量，由法向量的定义得：

不妨设 z=1，   则              

     ，点P 平面EFG

∴AP∥平面EFG   

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面GEF的法向量          ，

因平面EFD与坐标平面PDC重合 ，则它的一个法向量为=（1，0，0）

设平面间的夹角为.    则       

故夹角的大小为45°。

（Ⅲ） ，  

解法二：（1）∵EF∥CD∥AB，EG∥PB，根据面面平行的判定定理

∴平面EFG∥平面PAB，又PA面PAB，∴AP∥平面EFG

（2）∵平面PDC⊥平面ABCD，AD⊥DC

∴AD⊥平面PCD，而BC∥AD，∴BC⊥面EFD

过C作CR⊥EF交EF延长线于R点连GR，根据三垂线定理知

∠GRC即为二面角的平面角，∵GC=CR，∴∠GRC=45°，

故平面间的夹角大小为45°。   （3）同上

【解析】略