Question

在直角梯形PBCD中，，A为PD的中点，如下左图。将沿AB折到的位置，使，点E在SD上，且，如下右图。

   （Ⅰ）求证：平面ABCD；

   （Ⅱ）求二面角E—AC—D的正切值

Answer

解法一：（1）证明：在上左图中，由题意可知，

    为正方形，所以在上右图中，，

    四边形ABCD是边长为2的正方形，     因为，ABBC，

    所以BC平面SAB，           4分

    又平面SAB， 所以BCSA，又SAAB，

所以SA平面ABCD，          6分 

   （2） 在AD上取一点O，使，连接EO。

    因为，所以EO//SA

    所以EO平面ABCD，

    过O作OHAC交AC于H，连接EH，

    则AC平面EOH，所以ACEH。    

    所以为二面角E—AC—D的平面角，      9分

       在中，

    ，

    即二面角E—AC—D的正切值为       12分

解法二：（1）同方法一

   （2）如图，以A为原点建立直角坐标系，

    A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），S（0，0，2），E（0，）

    易知平面ACD的法向为    设平面EAC的法向量为

    由，

    所以，可取

    所以       9分

    所以

    所以，即二面角E—AC—D的正切值为       12分

【解析】略