Question

已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，直线与椭圆在第一象限内的交点是，点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点，椭圆另一个焦点是，且

（1）求椭圆的方程；

（2）直线过点，且与椭圆交于两点，求的内切圆面积的最大值

Answer

（1）设椭圆方程为，点在直线上，且点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点， 则点为 

，而为，则有

则有，所以 

又因为

所以 

所以椭圆方程为：-----------------------5分

（2）由（1）知,过点的直线与椭圆交于两点，则

的周长为，则（为三角形内切圆半径），当的面积最大时，其内切圆面积最大

设直线方程为：，，则

所以 

令，则，所以，而在上单调递增，

所以，当时取等号，即当时，的面积最大值为3

结合，得的最小值为 

【解析】略