Question

（本小题共12分）已知函数是偶函数.

(1)求的值；

(2)设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围．

Answer

【解析】
(1)∵函数 f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数

∴ f(－x)＝log4(4－x＋1)－kx＝log4()－kx＝log4(4x＋1)－(k＋1)x＝log4(4x＋1)＋kx恒成立

∴－(k＋1)＝k，则k＝－…………………………5分

(2)g(x)＝log4(a·2x－a)，

函数 f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，即方程 f(x)＝g(x)只有一个解

由已知得log4(4x＋1)－x＝log4(a·2x－a)

∴log4＝log4(a·2x－a)

…………………………7分

设2x＝t(t>0)，则(a－1)t2－at－1＝0有一解

若a－1>0，设h(x)＝(a－1)t2－at－1，∵h(0)＝－1<0，∴恰好有一正解

∴a>1满足题意……………………9分

若a－1＝0，即a＝1时，不满足题意………………10分

若a－1<0，即a<1时，由△＝(－a)2＋4(a－1)＝0，得a＝－3或a＝

当a＝－3时，t＝满足题意

当a＝时，t＝－2(舍去)………………11分

综上所述实数a的取值范围是{a|a>1或a＝－3}．………………12分

【解析】略