Question

(10分)如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点.

   （1）求证：MN//平面PAD

   （2）求证：MN⊥CD

   （3）若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD.

Answer

证明：（1）如图，取PD的中点E，连结AE、EN则有EN//CD//AB//AM，

且EN=CD=AB=MA.

∴四边形AMNE是平行四边形.

∴MN//AE.

∵AE平面PAD，MN平面PAD，

∴MN//平面PAD. …………3分

   （2）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB.

又AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD.

∴AB⊥AE，即AB⊥MN.又CD//AB，

∴MN⊥CD. …………6分

   （3）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD.

又∠PAD=45°，E是PD中点，

∴AE⊥PD，即MN⊥PD.

又MN⊥CD，∴MN⊥平面PCD. …………10分

【解析】略