Question

(满分12分)

  如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD,底面ABCD是矩形.

（1）若PD=AD,E为PA的中点，求证：平面CDE⊥平面PAB;

（2）F是棱PC上的一点，CF=CP，问线段AC上是否存在一点M，使得PA∥平面DFM.若存在，指出点M在AC边上的位置，并加以证明；若不存在，说明理由.19. (满分12分)

Answer

(1) ∵PD⊥底面ABCD, ∴PD⊥CD

又∵底面ABCD是矩形.∴CD⊥AD ∴CD⊥平面PAD   

又PA平面PAD    ∴CD⊥PA                 

∵PD=AD,E为PA的中点   ∴DE⊥PA            

CD∩DE=D  ∴PA⊥平面CDE,                  

又PA平面PAB  ∴平面CDE⊥平面PAB.       

(2)在线段AC上存在点M，使得PA∥平面DFM，此时点M为靠近C点的一个四等分点，                                               

证明如下： 

连接AC.BD.设AC∩BD=O, PC的中点为G，连OG，则PA∥OG,

  在ΔPAC中，∵CF=CP  ∴F为CG的中点。         

取OC的中点M，即CM=CA, 则MF∥OG, ∴MF∥PA   

又PA平面DFM, MF平面DFM  ∴PA∥平面DFM . 

【解析】略