Question

（本小题满分14分）

如图，三角形ABC中，AC=BC=，四边形ABED是正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点。

（1）求证：GF//底面ABC；

（2）求证：AC⊥平面EBC；

（3）若正方形ABED的边长为1，求几何体ADEBC的体积。

Answer

（I） 证明：连结AE，

∵四边形ADEB为正方形，

∴AE∩BD=F，且F是AE中点，…………………2分

∴GF//AC，

又AC平面ABC，

GF 平面ABC，

∴GF//平面ABC……………………………………4分

（Ⅱ）∵四边形ADEB为正方形，∴EB⊥AB，

又∵平面ABED⊥平面ABC，平面ABED平面ABC= AB， BE平面ABED

∴BE⊥平面ABC ，   又∵AC平面ABC，

∴BE⊥AC                            ………………………………………………7分

又∵CA2+CB2=AB2，∴AC⊥BC,            ………………………………………………8分

∵BC∩BE=B, ∴AC⊥平面BCE                   ……………………………………9分

（Ⅲ）设正方形ADEB的边长为

作AB的中点N，连结CN，因为AC=BC，∴CN⊥AB，  …………………………10分

又平面ABED⊥平面ABC，平面ABED平面ABC= AB， CN平面ABC，

∴CN⊥平面ABED，∴CN是四棱锥C—ABED 的高                      ………………11分

∵三角形ABC是等腰直角三角形，∴，    ………………………… 12分

∵C—ABED是四棱锥,

∴VC—ABED=         ………………14分

【解析】略