Question

（本题满分12分）

某公司通过报纸和电视两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入R(万元)与报纸广告费用x₁(万元)及电视广告费用x₂(万元)之间的关系有如下经验公式：R＝－2x₁²－x₂²＋13x₁＋11x₂－28.

(1)若提供的广告费用共为5万元，求最优广告策略．(即收益最大的策略，其中收益＝销售收入－广告费用)

(2)在广告费用不限的情况下，求最优广告策略

Answer

(1)依题意x1＋x2＝5，

∴x2＝5－x1，

∴R＝－2x12－x22＋13x1＋11x2－28

＝－2x12－(5－x1)2＋13x1＋11(5－x1)－28

＝－3x12＋12x1＋2(0≤x1≤5)，…………………………3分

∴收益y＝R－5＝－3x12＋12x1－3

＝－3(x1－2)2＋9≤9，

当且仅当x1＝2时取等号．

∴最优广告策略是报纸广告费用为2万元，电视广告费用为3万元．…6分

(2)收益y＝R－(x1＋x2)

＝－2x12－x22＋13x1＋11x2－28－(x1＋x2)

＝－2(x1－3)2－(x2－5)2＋15≤15，

当且仅当x1＝3，x2＝5时取等号．

∴最优广告策略是报纸广告费用为3万元，电视广告费用为5万元．…12分

【解析】略