Question

.如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC, D、E分别为AA₁、B₁C的中点，DE⊥平面BCC₁

（Ⅰ）证明：AB=AC; 

（Ⅱ）设二面角A-BD-C为60°,求B₁C与平面BCD所成的角的大小.

Answer

（Ⅰ）取BC中点F，连接EF，则EF，从而EFDA。

连接AF，则ADEF为平行四边形，从而AF//DE。又DE⊥平面，故AF⊥平面，从而AF⊥BC，即AF为BC的垂直平分线，所以AB=AC。------5’

（Ⅱ）作AG⊥BD，垂足为G，连接CG。可证CG⊥BD，故∠AGC为二面角A-BD-C的平面角。由题设知，∠AGC=600..----------2’

    设AC=2，则AG=。又AB=2，BC=，故AF=。

由得2AD=，解得AD=。

故AD=AF。又AD⊥AF，所以四边形ADEF为正方形。

因为BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A，故BC⊥平面DEF，因此平面BCD⊥平面DEF。

连接AE、DF，设AE∩DF=H，则EH⊥DF，EH⊥平面BCD。--------2’

连接CH，则∠ECH为与平面BCD所成的角。

因ADEF为正方形，AD=，故EH=1，又EC==2，

所以∠ECH=300，即与平面BCD所成的角为300.----------2’

【解析】略