Question

（（本小题12分）如图，在梯形中，，，四边形为矩形，平面平面，.

（1）求证：平面；

（2）求二面角A-BF-C的平面角的余弦值；

（3）若点在线段上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的取值范围.

Answer

（1）证明：在梯形中， ∵ ,，

∠＝，∴     ∴

∴ ∴ ⊥    

∵平面⊥平面,

平面∩平面,平面

∴  ⊥平面   

（2）取中点为，连结

 ∵  ,∴  ∴⊥ ∵     ∴ ⊥  ∴  ∠=

∵  ⊥   ∴   ∴,

 ∴  

（3）由（2）知，①当与重合时，

②当与重合时，过,连结，则平面∩平面＝,∵  ⊥，又∵⊥∴  ⊥平面∴  ⊥平面

∴ ∠＝  ∴ =,∴ =

③当与都不重合时，令

延长交的延长线于,连结

 ∴ 在平面与平面的交线上

 ∵  在平面与平面的交线上

 ∴  平面∩平面＝

 过C作CH⊥NB交NB于H ，连结AH，

由（I）知，⊥, 又∵AC⊥CN,∴ AC⊥平面NCB

∴ AC⊥NB, 又∵ CH⊥NB，AC∩CH=C，∴ NB⊥平面ACH  ∴AH⊥NB     ∴  ∠AHC=

 在中，可求得NC＝，从而，在中，可求得CH＝

∵ ∠ACH＝    ∴ AH＝

∴     ∵   ∴  ， 综上得。

【解析】略