Question

已知（，为此函数的定义域）同时满足下列两个条件：①函数在内单调递增或单调递减；②如果存在区间，使函数在区间上的值域为，那么称，为闭函数

    （1）判断函数是否为闭函数？并说明理由；

    （2）求证：函数（）为闭函数；

    （3）若是闭函数，求实数的取值范围

Answer

【解析】
（1）函数在区间上单调递减，在上单调递增；（证明略）

所以，函数在定义域上不是单调递增或单调递减函数，从而该函数不是闭函数

(2) 先证符合条件①：对于任意

    且，有     

    ，    ，故是上的减函数．

    又因为在上的值域是。              

    （3）易知是上的增函数，符合条件①；设函数符合条件②的区间为，则；故是的两个不等根，即方程组为：

    有两个不等非负实根；

    设为方程的二根，则

    解得： 的取值范围．

【解析】略