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( 10分)已知双曲线的左、右焦点分别为,,过点的动直线与双曲线相交于两点. (...

( 10分)已知双曲线6ec8aac122bd4f6e的左、右焦点分别为6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e,过点6ec8aac122bd4f6e的动直线与双曲线相交于6ec8aac122bd4f6e两点.

(I)若动点6ec8aac122bd4f6e满足6ec8aac122bd4f6e(其中6ec8aac122bd4f6e为坐标原点),求点6ec8aac122bd4f6e的轨迹方程;

(II)在6ec8aac122bd4f6e轴上是否存在定点6ec8aac122bd4f6e,使6ec8aac122bd4f6e·6ec8aac122bd4f6e为常数?若存在,求出点6ec8aac122bd4f6e的坐标;

若不存在,请说明理由.

 

【解析】 由条件知,,设,. 解法一:(I)设,则,, ,由得 即  于是的中点坐标为. 当不与轴垂直时,,即. 又因为两点在双曲线上,所以,,两式相减得 ,即. 将代入上式,化简得. 当与轴垂直时,,求得,也满足上述方程. 所以点的轨迹方程是. (II)假设在轴上存在定点,使为常数. 当不与轴垂直时,设直线的方程是. 代入有. 则是上述方程的两个实根,所以,, 于是 . 因为是与无关的常数,所以,即,此时=. 当与轴垂直时,点的坐标可分别设为,, 此时. 故在轴上存在定点,使为常数. 【解析】略
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