Question

已知定义在R上的二次函数满足，且的最小值为0，函数，又函数。

（I）求的单调区间；

（II）当≤时，若，求的最小值；

（III）若二次函数图象过（4，2）点，对于给定的函数图象上的点A（），当时，探求函数图象上是否存在点B（）（），使A、B连线平行于x轴，并说明理由。

（参考数据：e=2.71828…）

Answer

（I）

可得

又在x=0时取得最小值0，

令

当x变化时，，的变化情况如下表：

（0，）

（，＋）

＋

0

－

增函数

极大值

减函数

所以，的单调递增区间是（0，），的单调递减区间是（，＋）。

（II）≤时，≥1，

时，的最小值为与中的较小者.  ……………………7分

又

≤时，的最小值；

  当时， 的最小值  ……………………9分

（III）证明：若二次函数图象过（4，2）点，则，所以

令

由（I）知在（0，2）内单调递增，

故   ……………………11分

取则

所以存在

即存在

所以函数图象上存在点B（）（），使A、B连线平行于x轴.

【解析】略