Question

如图，已知某椭圆的焦点是F₁(－4，0)、F₂(4，0)，过点F₂并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F₁B|+|F₂B|=10，椭圆上不同的两点A(x₁,y₁),C(x₂,y₂)满足条件：|F₂A|、|F₂B|、|F₂C|成等差数列.

(1)求该弦椭圆的方程；

(2)求弦AC中点的横坐标；

(3)设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m的取值范围.

Answer

(1)由椭圆定义及条件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b==3.

故椭圆方程为=1.

(2)由点B(4,yB)在椭圆上，得|F2B|=|yB|=.因为椭圆右准线方程为x=,离心率为，根据椭圆定义，有|F2A|=(－x1),|F2C|=(－x2)，

由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，得

(－x1)+(－x2)=2×,由此得出：x1+x2=8.

设弦AC的中点为P(x0,y0),则x0==4.

(3)解法一：由A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上.

①

②

得                 

①－②得9(x12－x22)+25(y12－y22)=0,

即9×=0(x1≠x2)

将 (k≠0)代入上式，

得9×4+25y0(－)=0

(k≠0)

即k=y0(当k=0时也成立).

由点P(4，y0)在弦AC的垂直平分线上，得y0=4k+m,所以m=y0－4k=y0－y0=－y0.

由点P(4，y0)在线段BB′(B′与B关于x轴对称)的内部，

得－＜y0＜,所以－＜m＜.

解法二：因为弦AC的中点为P(4,y0)，所以直线AC的方程为

y－y0=－(x－4)(k≠0)                          ③

将③代入椭圆方程=1,得

(9k2+25)x2－50(ky0+4)x+25(ky0+4)2－25×9k2=0

所以x1+x2==8,解得k=y0.(当k=0时也成立)

(以下同解法一).

【解析】略