Question

如图，四棱锥中，底面是平行四边形，

底面

（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值；

（Ⅲ）当时，在线段上是否存在一点使二面角为，若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由。

Answer

（Ⅰ）证明：在中，

∵

∴

∴，得

又∵底面

∴斜线在底面内的射影为

∴由三垂线定理，得

故，                      …………………………………4分

（Ⅱ）以为原点，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则

设是平面的法向量，则

取，得

∴是平面的一个法向量。

同理可求：是平面的一个法向量

∴………………………………7分

故，二面角的余弦值

（Ⅲ）显然是平面的一个法向量，可是

因得从而，得

设是平面的法向量，同（Ⅱ）容易解得是平面 的一个法向量。

由题意，得  ………………12分

即，注意到解得

故，当点在线段上，且满足时，二面角为

【解析】略