Question

已知函数.

（Ⅰ）若，求的取值范围；

（Ⅱ）证明：.

Answer

（Ⅰ），           ………………2分

xf′（x）=xlnx+1，

题设xf′（x）≤x2+ax+1等价于lnx-x≤a，

令g（x）=lnx-x，则g’（x）=。         ………………4分

当00；当x≥1时，g’（x）≤0，x=1是g（x）的最大值点，

g（x）≤g（1）=-1。         ………………6分

综上，a的取值范围是[-1,+∞）。           ………………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）≤g（1）=-1，即lnx-x+1≤0；

当0