Question

已知函数的定义域为，且满足条件：①，②③当.

（1）求证：函数为偶函数；

（2）讨论函数的单调性；

（3）求不等式的解集

Answer

【解析】
（1）在①中令x=y=1, 得f(1)= f(1)+ f(1) f(1)=0,

令x=y=－1, 得f(1)= f(－1)+ f(－1) f(－1)=0,

再令y=－1, 得f(－x)= f(x)+ f(－1) f(x), ∴f(x)为偶函 数；

（2）在①中令

先讨论上的单调性， 任取x1http://www.zxxk.com/x2，设x2>x1>0，

由③知：>0，∴f(x2)>f(x1)， ∴f(x)在（0，+∞）上是增函数，

∵偶函数图象关于y轴对称 ，∴f(x)在（－∞，0）上是减函数；

（3）∵f[x(x－3)]= f(x)+ f(x－3)≤2， 由①②得2=1+1= f(2)+ f(2)= f(4)= f(－4)，

1）若x(x－3)>0 , ∵f(x)在（0，+∞）上为增函数，

由f[x(x－3)] ≤f(4) 得

2）若x(x－3)<0, ∵f(x)在（－∞，0）上为减函数；

由f[x(x－3)] ≤f(－4)得 

∴原不等式的解集为：

【解析】略