Question

直四棱柱中，底面是等腰梯形，，，为的中点，为中点．

 (1) 求证：；

(2) 若，求与平面所成角的大小

Answer

(1)证明：连结AD1，在△ABD1中

∵E是BD1的中点，F是BA中点，

∴EF//AD1

又EF⊄平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1

∴EF∥平面ADD1A1.

(2)解法1：延长D1A1至H，使A1H＝D1A1，延长DA至G，使AG＝DA，并连结HG和A1G，则A1G∥D1A∥EF

∴A1G∥平面DEF，

∴A1到平面DEF的距离等于G到平面DEF的距离，设为x

由题意可得，DF＝BC＝AD＝1，连DB，在Rt△D1DB中，DE＝D1B

又DB＝，且DD1＝，

∴DE＝，

又EF＝AD1＝，

在△DEF中，由余弦定理得：

cos∠EDF＝

∴S△DEF＝，

又点E到平面DGF的距离d＝DD1＝

不难证明∠DFG是Rt△(∵FA＝DG)

∴S△DFG＝×DF×FG＝×1×

由VE－DGF＝VG－DEF得，x·S△DEF＝d·S△DFG，

∴即A1到平面DEF的距离为，

设A1F与平面DEF成α角，则

sinα＝，∴α＝arcsin，

即A1F与平面DEF所成角的大小为arcsin.

【解析】略