Question

已知函数

 (1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)当时，讨论的单调性．

Answer

(1)a＝－1时，f(x)＝lnx＋x＋－1，x∈(0，＋∞)．

f ′(x)＝＋1－，x∈(0，＋∞)，

因此f ′(2)＝1，

即曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为1.

又f(2)＝ln2＋2，

所以y＝f(x)在(2，f(2))处的切线方程应为y－(ln2＋2)＝x－2，即x－y＋ln2＝0.

(2)因为f(x)＝lnx－ax＋－1，

所以f ′(x)＝－a＋＝ x∈(0，＋∞)．

令g(x)＝ax2－x＋1－a，

①当a＝0时，g(x)＝1－x，x∈(0，＋∞)，

当x∈(0,1)时，g(x)>0，f ′(x)<0，f(x)单调递减；

当x∈(1，＋∞)时，g(x)<0，此时f ′(x)>0，f(x)单调递增；

②当a≠0时，g(x)＝a(x－1)[x－(－1)]，x∈(0，＋∞)

(ⅰ)当a＝时，g(x)≥0恒成立，f ′(x)≤0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；

(ⅱ)当01>0，

x∈(0,1)时，g(x)>0，此时f ′(x)<0，f(x)单调递减；

x∈(1，－1)时，g(x)<0，此时f ′(x)>0，f(x)单调递增；

x∈(－1，＋∞)时，g(x)>0，此时f ′(x)<0，f(x)单调递减；

③当a<0时，由－1<0，

x∈(0,1)时，g(x)>0，有f ′(x)<0，f(x)单调递减

x∈(1，＋∞)时，g(x)<0，有f ′(x)>0，f(x)单调递增．

综上所述：

当a≤0时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，(1，＋∞)上单调递增；

当a＝时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；

当0