Question

已知函数.

（1）求的值域G；

（2）若对于G内的所有实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer

【解析】
(Ⅰ)∵f(t)=log2t在t∈[,8]上是单调递增的，∴log2≤log2t≤log28.

即≤f(t)≤3.∴f(t)的值域G为[].   -------4    分

(Ⅱ)由题知－x2+2mx－m2+2m≤1在x∈[]上恒成立－2mx+m2－2m+1≥0在x∈[]上恒成立.-----6分

令g(x)=x2－2mx+m2－2m+1,x∈[].只需gmin(x)≥0即可.

而g(x)=(x－m)2－2m+1,x∈[].

(1)当m≤时，gmin(x)=g()=－3m+m2+1≥0.∴4m2－12m+5≥0.解得m≥或m≤

.∴m≤  

(2)当＜m＜3时，gmin(x)=g(m)= －2m+1≥0.解得m≤这与＜m＜3矛盾.----10 

 (3)当m≥3时，gmin(x)=g(3)=10+m2－8m≥0.解得m≥4+或m≤4－.而m≥3,

∴m≥4＋.        ----12分综上，实数m的取值范围是 (－∞，)∪[4+，+∞].

【解析】略