Question

如图8所示，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，点P在侧棱SD上，且．

（Ⅰ）求证：AC⊥SD；

（Ⅱ）求二面角P－AC－D的大小；

（Ⅲ）侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求的值；若不存在，试说明理由．

Answer

（Ⅰ）连接BD，设AC交BD于O，

由题意SO⊥AC．在正方形ABCD中，AC⊥BD，

∴AC⊥平面SBD，又SDÌ平面SBD，

∴AC⊥SD．··················· 4分

（Ⅱ）设正方形ABCD的边长为a，则，又，

∴，由（Ⅰ）知AC⊥平面SBD，又OPÌ平面SBD，

∴AC⊥OP，且AC⊥OD，

∴是二面角P－AC－D的平面角．

△POD中，，，

，则，

∴△POD是Rt△，又，∴．

即二面角P－AC－D的大小．···················· 9分

（Ⅲ）在棱SC上存在一点E，使得BE∥平面PAC．

，在SP上取一点N，使，过N作PC的平行线与SC的交点即为E，连结BN、BE．

在△BND中，，又，

∴平面BEN∥平面PAC，又BEÌ平面BEN，

∴BE∥平面PAC，由于，故

【解析】略