Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n是S_n与2的等差中项，数列{b_n}中，b₁=1，点P（b_n，b_n+1）在直线上。

（1）求a₁和a₂的值；    

（2）求数列{a_n}，{b_n}的通项a_n和b_n；

（3）设c_n=a_n·b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n.

Answer

【解析】
（1）∵an是Sn与2的等差中项          ∴Sn=2an-2         ∴a1=S1=2a1-2，

解得a1=2         a1+a2=S2=2a2-2，解得a2=4

   （2）∵Sn=2an-2，Sn-1=2an-1-2，又Sn—Sn-1=an，  ∴an=2an-2an-1， 

又an≠0，  ∴，即数列{an}是等比数列  

∵a1=2，∴an=2n     ∵点P(bn，bn+1)在直线x-y+2=0上，∴bn-bn+1+2=0，

    ∴bn+1-bn=2，即数列{bn}是等差数列，又b1=1，∴bn=2n-1，  

   （3）∵cn=(2n-1)2n       ∴Tn=a1b1+ a2b2+····anbn=1×2+3×22+5×23+····+(2n-1)2n，

    ∴2Tn=1×22+3×23+····+(2n-3)2n+(2n-1)2n+1

    则   -Tn=1×2+(2×22+2×23+···+2×2n)-(2n-1)2n+1，

    即：-Tn=1×2+(23+24+····+2n+1)-(2n-1)2n+1，

      ∴Tn=(2n-3)2n+1+6  

【解析】略