Question

设函数，．

⑴求的极值；

(2)设函数（为常数），若使≤≤在上恒成立的实数有且只有一个，求实数和的值；

(3)讨论方程的解的个数，并说明理由.

Answer

【解析】
⑴令，得，

区间分别单调增，单调减，单调增，

于是当时，有极大值时，有极小值；

(2)由已知得在上恒成立，

由得   时，，时，，

故时，函数取到最小值.从而；

同样的，在上恒成立，

由得  时，；  时，，

故时，函数取到最小值.  从而，

由的唯一性知，；

(3)记=

①当时，在定义域上恒大于，此时方程无解；

②当时，在定义域上为增函数.

，，所以，此时方程有唯一解。

③当时，，

当时，，所以在为减函数

当时，，所以在为增函数

所以，当时，  

（a）当时，  ，所以，此时方程无解

（b）当   时，  ，所以，此时方程有唯一解

（c）当时，，

因为且，所以方程在区间上有唯一解，

因为当时，，所以    

所以  

因为  ，所以

所以  方程在区间上有唯一解.

所以，此时方程有两解.

综上所述：当时，      方程无解；

当时，  方程有唯一解；             

当时，         方程有两解 。

【解析】略