Question

如图,已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1)，平行于OM的直线在轴上的截距为，交椭圆于A、B两个不同点．

（1）求椭圆的方程；   

（2）求m的取值范围；  

（3）求证直线MA、MB与轴始终围成一个等腰三角形．

Answer

（1）设椭圆方程为

则                       2分

  ∴椭圆方程                            4分

（2）∵直线l平行于OM，且在轴上的截距为m

又      ∴l的方程为：

由       6分

∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，

∴m的取值范围是            9分

（3）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1＋k2=0即可

设

可得            11分

而

                   13分

∴k1＋k2=0

故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．

【解析】略