Question

给定椭圆＞＞0，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“伴随圆”．若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为．

（1）求椭圆的方程及其“伴随圆”方程；

（2）若倾斜角为的直线与椭圆C只有一个公共点，且与椭圆的“伴随圆”相交于M、N两点，求弦MN的长；

（3）点是椭圆的“伴随圆”上的一个动点，过点作直线，使得与椭圆都只有一个公共点，求证：⊥.

Answer

（1）因为，所以

所以椭圆的方程为，伴随圆方程……………2分

（2）设直线的方程，由得 

由   得  

圆心到直线的距离为所以……………6分

（3）①当中有一条无斜率时，不妨设无斜率，

因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，     

当方程为时，此时与伴随圆交于点

此时经过点（或且与椭圆只有一个公共点的直线是

(或，即为(或，显然直线垂直；

同理可证方程为时，直线垂直……………………7分

②当都有斜率时，设点其中， 

设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，

由，消去得到，

即，……………8分

，

经过化简得到：，

因为，所以有，………………………………10分

设的斜率分别为，因为与椭圆都只有一个公共点，

所以满足方程，

因而，即垂直.

【解析】略