Question

如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC.

（Ⅰ）求证：PC⊥AB；

（Ⅱ）求直线BC与平面APB所成角的正弦值

（Ⅲ）求点C到平面APB的距离.

Answer

（I）        取AB中点D，连结PD，CD.

∵AP=BP，

∴PD⊥AB.           ……………1

∵AC=BC,

∴CD⊥AB.            ……………2

∵PD∩CD=D,

∴AB⊥平面PCD.       ……………3

∵PC∩平面PCD.

∴PC⊥AB.              ……………4

（Ⅱ）∵AC=BC，AP＝BP，

∴△APC≌△BPC.

又PC⊥BC.

∴PC⊥BC.

又∠ACB=90°,即AC⊥BC.

且AC∩PC＝C,

∴BC⊥平面PAC.

取AP中点E，连结BE，CE.

∵AB＝BP，

∴BE⊥AP.

∵EC是BE在平面PAC内的射影.

∴CE⊥AP.

∴∠EBC是直线BC与平面APB所成的角                        ……………6

在△BCE中，∠BCE＝90°，BC＝2，BE＝AB＝，

sin∠EBC==                                         ……………8

(Ⅲ)由（Ⅰ）知AB⊥平面PCD，

∴平面APB⊥平面PCD.

过C作CH⊥PD，垂足为H.

∵平面APB∩平面PCD＝PD，

∴CH⊥平面APB.

∴CH的长即为点C到平面APB的距离，                            ……………10

由（Ⅰ）知PC⊥AB，又PC⊥AC，

且AB∩AC＝A.

∴PC⊥平面ABC.

CD平面ABC.

∴PC⊥CD.

在Rt△PCD中，CD＝

∴PC＝

∴CH=

∴点C到平面APB的距离为

【解析】略