Question

（本题12分）设为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为.

(1)求函数的解析式；

(2)求函数f(x)在[－1,3]上的最大值和最小值．

Answer

【解析】
(1)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即－ax3－bx＋c＝－ax3－bx－c，∴c＝0.

又f′(x)＝3ax2＋b的最小值为－12，∴b＝－12.

由题设知f′(1)＝3a＋b＝－6，∴a＝2，

故f(x)＝2x3－12x. （6分）

(2)f′(x)＝6x2－12＝6(x＋)(x－)，当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况表如下：

x

(－∞，－)

－

(－，)

(，＋∞)

f′(x)

＋

0

－

0

＋

f(x)



极大值



极小值



∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)，

∵f(－1)＝10，f(3)＝18，f()＝－8 ，f(－)＝8 ，

当x＝时，f(x)min＝－8 ；当x＝3时，f(x)max＝18. （12分）

【解析】略