Question

如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，M为线段AB的中点，将△ACD沿折起，使平面ACD⊥平面ABC，得到几何体D－ABC，如图2所示．

（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；

（Ⅱ）求二面角A－CD－M的余弦值．

Answer

【解析】
（Ⅰ）取AC的中点O，连接DO，则DO⊥AC，

∵平面ADC⊥平面ABC，∴DO⊥平面ABC，∴DO⊥BC，………2分

在直角梯形ABCD中，连接CM，可得CM＝AD＝2，AC＝BC＝2，

∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC，

又∵DO∩AC＝O，∴BC⊥平面ACD；………………………………3分

（Ⅱ）取CD的中点N，连接MO, NO, MN，

则MO∥BC，∴MO⊥平面ACD，∴MO⊥CD，……………………1分

∵AD⊥CD，ON∥AD，∴ON⊥CD，又∵MO∩NO＝O，

∴CD⊥平面MON，∴CD⊥MN，∴∠MNO是所求二面角的平面角…2分

在Rt△MON中，MO＝＝，NO＝＝1，

∴MN＝＝，∴cos∠MNO＝＝

【解析】略