Question

已知函数.(为常数)

（1）当时，求函数的最小值；

（2）求函数在上的最值；

（3）试证明对任意的都有

Answer

解（1）当时，函数=，

∵，令得         

∵当时，   ∴函数在上为减函数

∵当时   ∴函数在上为增函数

∴当时，函数有最小值，     

（2）∵

若，则对任意的都有，∴函数在上为减函数

∴函数在上有最大值，没有最小值，；

若，令得

当时，，当时，函数在上为减函数

当时   ∴函数在上为增函数

∴当时，函数有最小值，  

当时，在恒有

∴函数在上为增函数，

函数在有最小值，.  

综上得：当时，函数在上有最大值，，没有最小值；

当时，函数有最小值，，没有最大值；

当时，函数在有最小值，，没有最大值．  

(3)由（1）知函数=在上有最小值1

即对任意的都有，即，    

当且仅当时“＝”成立

∵       ∴且

∴

∴对任意的都有．

【解析】略