Question

（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分．

已知负数和正数，且对任意的正整数n，当≥0时, 有[, ]=

 [, ]；当<0时, 有[, ]= [,]．

（1）求证数列{}是等比数列；

（2）若，求证；

（3）是否存在，使得数列为常数数列？请说明理由

Answer

（1）当≥0时，bn+1－an+1= -an= ；

当<0, bn+1－an+1 = bn- = ．

所以，总有bn+1－an+1 = (bn-an),                      

又，可得，                     

所以数列｛bn－an｝是等比数列．                           ………………4分

（2）①由，可得，故有，

∴，，从而，

故当n=1时，成立．                            ………………6分

②假设当时，成立，即，      

由，可得，                   

, 故有，

∴,                        ………………9分

,故有

∴, ，故

∴当时，成立．

综合①②可得对一切正整数n，都有．              ………………12分

（3）假设存在，使得数列为常数数列，

 由（1）可得bn－an=()n-1，又，

故bn=()n-1，                                  ………………14分

由恒成立，可知≥0,即()n ≥0恒成立，

 即2n≤对任意的正整数n恒成立，                 ………………16分

又是正数，故n≤对任意的正整数n恒成立，

因为是常数，故n≤不可能对任意正整数n恒成立．

故不存在，使得数列为常数数列．     ………………18分

【解析】略