Question

已知数列是各项均为正数的等差数列，公差为d（d 0）．在之间和b,c之间共插入个实数，使得这个数构成等比数列，其公比为q．

（1）求证：；

（2）若，求的值；

（3）若插入的n个数中，有s个位于a,b之间，t个位于b,c之间，且都为奇数，试比较s与t的大小，并求插入的n个数的乘积（用表示）.

Answer

【解析】
（1）由题意知，，         

又，可得，          ………………………………2分

即，故，又是正数，故．………………………………4分

（2）由是首项为1、公差为的等差数列，故，

若插入的这一个数位于之间，则，，

消去可得，即，其正根为．………7分

若插入的这一个数位于之间，则，，

消去可得，即，此方程无正根．

故所求公差．   ………………………………………9分

（3）由题意得，，又，

故，可得，又，

故，即．

又，故有，即．   ………………………………………12分

设个数所构成的等比数列为，则，

由…，，可得

……，  ……………………14分

又，，

由都为奇数，则q既可为正数，也可为负数，

①若q为正数，则…，插入n个数的乘积为；

②若q为负数，…中共有个负数，

故…，所插入的数的乘积为．

所以当N*)时，所插入n个数的积为；

当N*）时，所插入n个数的积为．  …………………18分

（另法：由又，，

由都为奇数，可知是偶数，q既可为正数也可为负数．

……         

①若q为正数，则…，

故插入n个数的乘积为；                        …………………15分

②若q为负数，由是偶数，可知的奇偶性与的奇偶性相同，

可得…．

所以当N*)时，所插入n个数的积为；

当N*）时，所插入n个数的积为． …………………18分）

【解析】略