Question

对于定义域为的函数，若有常数M，使得对任意的，存在唯一的满足等式，则称M为函数f (x)的“均值”．

（1）判断1是否为函数≤≤的“均值”，请说明理由；

（2）若函数为常数）存在“均值”，求实数a的取值范围；

（3）若函数是单调函数，且其值域为区间I．试探究函数的“均值”情况（是否存在、个数、大小等）与区间I之间的关系，写出你的结论（不必证明）．

说明：对于（3），将根据结论的完整性与一般性程度给予不同的评分

Answer

【解析】
（1）对任意的，有，

当且仅当时，有，     

故存在唯一，满足，              ……………………2分

所以1是函数的“均值”．            ……………………4分

(另法：对任意的，有，令，

则，且，     

若，且，则有，可得，

故存在唯一，满足，              ……………………2分

所以1是函数的“均值”．            ……………………4分）

（2）当时，存在“均值”，且“均值”为；…………5分

当时，由存在均值，可知对任意的，

都有唯一的与之对应，从而有单调，

故有或，解得或或，         ……………………9分

综上，a的取值范围是或．    ……………………10分

（另法：分四种情形进行讨论）

（3）①当I 或时，函数存在唯一的“均值”．

这时函数的“均值”为；                      …………………12分

②当I为时，函数存在无数多个“均值”．

这时任意实数均为函数的“均值”；        ……………………14分

③当I 或或或或或时，

函数不存在“均值”．     ……………………16分

[评分说明：若三种情况讨论完整且正确，但未用等价形式进行叙述，至多得6分；若三种情况讨论不完整，且未用等价形式叙述，至多得5分]

①当且仅当I形如、其中之一时，函数存在唯一的“均值”．

这时函数的“均值”为；                     ……………………13分

②当且仅当I为时，函数存在无数多个“均值”．

这时任意实数均为函数的“均值”；        ……………………16分

③当且仅当I形如、、、、、其中之一时，函数不存在“均值”．     ……………………18分

（另法：①当且仅当I为开区间或闭区间时，函数存在唯一的“均值”．这时函数的均值为区间I两端点的算术平均数；                     ……………………13分

②当且仅当I为时，函数存在无数多个“均值”．这时任意实数均为函数的“均值”；                                       ……………………16分

③当且仅当I为除去开区间、闭区间与之外的其它区间时，函数不存在“均值”．                                              ……………………18分）

[评分说明：在情形①与②中，等价关系叙述正确但未正确求出函数“均值”，各扣1分]

【解析】略