Question

设二次函数，对任意实数，有恒成立；数列满足.

（1）求函数的解析式和值域；

（2）试写出一个区间，使得当时，数列在这个区间上是递增数列，并说明理由；

（3）已知，是否存在非零整数，使得对任意，都有

 恒成立，若存在，

求之；若不存在，说明理由.

Answer

【解析】
（1）由恒成立等价于恒成立，…1分

从而得：，化简得，从而得，

所以，………3分

其值域为.…………………4分

（2）【解析】
当时，数列在这个区间上是递增数列，证明如下：

设，则，

所以对一切，均有；………………7分

从而得，即，所以数列在区间上是递增数列…10分

注：本题的区间也可以是、、等无穷多个.

另【解析】
若数列在某个区间上是递增数列，则

即…7分

又当时，，

∴对一切，均有且，

∴数列在区间上是递增数列.…………………………10分

（3）（文科）由（2）知，从而；

，

即；  ………12分

令，则有且；

从而有，可得，

∴数列是以为首项，公比为的等比数列，………14分

从而得，即，

∴ ，

∴，∴， …16分

∴，

.    ………………………18分

（3）（理科）由（2）知，从而；

，

即；………12分

令，则有且；

从而有，可得，所以数列是为首项，公比为的等比数列，…………………14分

从而得，即，

所以 ，

所以，所以，

所以，

.………………………16分

即，所以，恒成立

（1）当n为奇数时，即恒成立，当且仅当时，有最小值为。

（2）当n为偶数时，即恒成立，当且仅当时，有最大值为。

所以，对任意，有。又非零整数，…………18分

【解析】略