Question

（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分

已知曲线的方程为，、为曲线上的两点，为坐标原点，且有．

（1）若所在直线的方程为，求的值；

（2）若点为曲线上任意一点，求证：为定值；

（3）在（2）的基础上，用类比或推广的方法对新的圆锥曲线写出一个命题，并对该命题加以证明．

Answer

【解析】
（1）∵所在直线的方程为

由    可得     ∴…………2分

又  ∵  ∴  ∴所在直线的方程为，

同理可得……………4分

∴          ……………5分

（2）当点在轴上时，点在轴上，此时有，，

           ……………6分

当点不在轴上时，设所在直线的方程为，则所在直线的方程为，、两点的坐标分别为、

由   可得， ∴ ……………8分

同理，由可得， ∴ ……………9分

∴为定值………11分

（3）根据所写新命题的思维层次的不同情况分别进行评分

①已知双曲线的方程为，、为曲线上的两点，为坐标原点，且有。求证：为定值。               ……………13分

证明：显然、两点都不能在轴上，

设所在直线的方程为，则所在直线的方程为，、两点的坐标分别为、

由   可得，  ……………14分

同理，由可得，

∴………15分

②已知椭圆的方程为，、为曲线上的两点，为坐标原点，且有。

求证：……………13分

证明：当点在轴上时，点在轴上，

此时有，，       ……………14分

当点不在轴上时，设所在直线的方程为，

则所在直线的方程为，、两点的坐标分别为、

由   可得， 

……………15分

同理，由可得

， ……………16分

∴…17分

③已知双曲线的方程为，、为曲线上的两点，为坐标原点，且有，

则当时，求证：……………14分

证明：显然、两点都不能在轴上，

设所在直线的方程为，则所在直线的方程为，、两点的坐标分别为、

由   可得，  ……15分

同理，由可得

， ……………17分

故……………18分

【解析】略