Question

（本题满分14分）定义在D上的函数，如果满足；对任意，存在常数，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界。

已知函数，

（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；

（2）若函数在上是以3为上界函数值，求实数的取值范围；

（3）若，求函数在上的上界T的取值范围。

Answer

解：（1）当时，.

∵在上递增，所以，

即在上的值域为.       …………………………………2分

故不存在常数，使成立.

所以函数在上不是有界函数.  ……………………………………4分

（2）∵函数在上是以3为上界的有界函数，

在上恒成立. ,

在上恒成立.

             ……………………………6分

设，，.

由,得.设，则

，，

所以在 上递增，在上递减.

在上的最大值为，在上的最小值为.

所以实数的取值范围为.        …………………………………………… 9分

（3））方法一:，.

∵ m>0 ，,.

∴，

∵

∴.            …………………………………………11分

① 当，即时，

，此时；

② 当，即时，

，此时.

综上所述，当时，的取值范围是；当时，的取值范围是    ………………………………………………………14分

方法二: .

令，因为，所以.

.

因为在上是减函数，所以.…………………11分

又因为函数在上的上界是，所以.

当时，，;

当时，，.……………………14分

【解析】略