Question

已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值？

（Ⅲ）当时，设函数，若在区间上至少存在一个，

使得成立，试求实数的取值范围．

Answer

【解析】
（Ι）由知：

当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；

当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；………………4分

（Ⅱ）由,

∴，.             ………………………6分

故，

∴,

∵ 函数在区间上总存在极值，

∴有两个不等实根且至少有一个在区间内…………7分

又∵函数是开口向上的二次函数，且，∴ …………8分

由，∵在上单调递减，所以

；∴，由，解得；

综上得： 所以当在内取值时，对于任意的，函数

在区间上总存在极值。………………………9分

（Ⅲ）令，则

.

①  当时，由得，从而,

所以，在上不存在使得；…………………11分

②  当时，,，

在上恒成立，故在上单调递增。

故只要，解得综上所述， 的取值范围是

【解析】略