Question

（Ⅰ）设为正数，且，求证：；

（Ⅱ）设为正数，，求证：

Answer

（Ⅰ）为正数，且，由柯西不等式有：

，

当且仅当，即时等号成立，

．                                 ……………6分

（Ⅱ）证法一：用数学归纳法证明：

①当时，左边=右边； 当时，左边=右边；

当时，左边右边，

所以当时，不等式成立；

②假设当时不等式成立，即，则当时，

是正数，，

， ，

所以当时不等式也成立，

综合①②得当为正数，时，成立．  ……………12分

证法二：用构造法证明：

设，则：，

是正数，

，又，，，

即当为正数，时，成立．

【解析】略