Question

已知二次函数及函数，函数在处取得极值．

（Ⅰ）求所满足的关系式；

（Ⅱ）是否存在实数，使得对（Ⅰ）中任意的实数，直线与函数在上的图像恒有公共点？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）由已知得，，

依题意得：，即，                             ……………4分

代入得

要使在处有极值，则须，即，          

所以所求满足的关系式为．          ……………5分

（Ⅱ）由题意得方程在时总有解，所以

在时总有解，        ……………6分

设，则，              ……………7分

①当且，时，，在时单调递减，，，； …8分

②当时，令得：，时，，单调递减，时，，单调递增，

，，

若，则，，

若，则，；                ………9分

③当时，，在时单调递增，

，，；   ……………10分

设集合，，

，，

所以要使直线与函数在上的图像恒有公共点，则实数的取值范围为：，所以存在实数满足题意，其取值范围为．

【解析】略