Question

已知椭圆的方程为双曲线的两条渐近线为和，过椭圆的右焦点作直线，使得于点，又与交于点，与椭圆的两个交点从上到下依次为（如图）.

 (1)当直线的倾斜角为，双曲线的焦距为8时，求椭圆的方程；

(2)设，证明：为常数.

Answer

【解析】
（1）由已知，，

解得:，          所以椭圆的方程是:.   

（2）解法1：设

由题意得: 直线的方程为: ,直线的方程为: ,

则直线的方程为: ,其中点的坐标为;

由    得:     ,则点;

由  消y得:,则;

由得:,则:,

同理由得:,

故为常数.

【解析】略