Question

（本小题满分12分）

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，点、分别是椭圆的左、右焦点，在椭圆的右准线上的点，满足线段的中垂线过点．直线：为动直线，且直线与椭圆交于不同的两点、．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若在椭圆上存在点，满足（为坐标原点），求实数的取值范围；

（3）在（Ⅱ）的条件下，当取何值时，的面积最大，并求出这个最大值．

Answer

（1）

（2）

（3）当时，的面积最大，最大值为

【解析】【解析】
（1）设椭圆的方程为，半焦距为，依题意有

 解得 ．

所求椭圆方程为．       ……………………………3分

（2）由，得．

设点、的坐标分别为、，则

．

（1）当时，点、关于原点对称，则．

（2）当时，点、不关于原点对称，则，

由，得       即

点在椭圆上，有，

化简，得．

，有．………………①        

又，

由，得．……………………………②

将①、②两式，得．

，，则且．

综合（1）、（2）两种情况，得实数的取值范围是．………………8分

【注】 此题可根据图形得出当时，当、两点重合时．

如果学生由此得出的取值范围是可酌情给分．

（3），点到直线的距离，

的面积

                ．         

由①有，代入上式并化简，得．

，．         

 当且仅当，即时，等号成立．

当时，的面积最大，最大值为．…………… 12分