Question

（本小题满分12分）

    设函数

   （1）试用含a的代数式表示b，

   （2）求f（x）的单调区间；

   （3）令a=-1，设函数f（x）在处取得极值，记点，证明：线段MN与曲线f（x）存在异于M，N的公共点。

Answer

（1）（2）当的单调增区间为，

单调减区间为；

当的单调增区间为R；

当，函数的单调增区间为，

单调减区间为；

（3）略

【解析】解法一：（I）依题意，得

由

   （II）由（I）得

故

令

①当

当的变化情况如下表：

+

—

+

单调递增

单调递减

单调递增

由此得，函数，

单调减区间为

②由恒成立，

且仅在故函数的单调区间为R

③当，

同理可得函数的单调增区间为

单调减区间为

综上：

当的单调增区间为，

单调减区间为；

当的单调增区间为R；

当，函数的单调增区间为，

单调减区间为；

   （III）当

由（II）得的单调增区间为，单调减区间为（—1，3）

所以函数处取得极值。

故

所以直线MN的方程为

由

令

易得的图像在（0，2）内是一条连续不断的曲线，

故在（0，2）内存在零点，这表明线段MN与曲线有异于M，N的公共点。