Question

（本小题满分12分）

已知函数f(x)＝x²(x－3a)＋1 (a＞0，x∈R).

（I）求函数y＝f(x)的极值；

（II）函数y＝f(x)在(0，2)上单调递减，求实数a的取值范围；

（III）若在区间(0，＋∞)上存在实数x₀，使得不等式f(x₀)－4a³≤0能成立，求实数a的取值范围.

Answer

（I）当a＞0时，在x＝0处，函数f(x)有极大值f(0)＝1；在x＝2a处，函数f(x)有极小值f(2a)＝－4a3＋1 .

（II）a≥1

（III）a≥.

【解析】【解析】
f＇(x)＝3x(x－2a)，令f＇(x)＝0，得x＝0或x＝2a .

f(0)＝1，f(2a)＝－4a3＋1 .

（I）当a＞0时，2a＞0，当x变化时，f＇(x)，f(x)的变化情况如下表：

x

(－∞，0)

0

(0，2a)

2a

(2a，＋∞)

f＇(x)

＋

0

－

0

＋

f(x)

↗

1

↘

－4a3＋1

↗

∴ 当a＞0时，在x＝0处，函数f(x)有极大值f(0)＝1；在x＝2a处，函数f(x)有极小值f(2a)＝－4a3＋1 .

（II）在(0，2)上单调递减，∴ 2a≥2，即a≥1 .

（III）依题意得 4a3≥f(x)min4a3≥－4a3＋18a3≥1a≥.