Question

如图，已知E，F分别是正方形ABCD边BC、CD的中点，EF与AC交于点O，PA，NC都垂直于平面ABCD，且PA＝AB＝4，NC＝2，M是线段PA上的一动点．

(1)求证：平面PAC⊥平面NEF；

(2)若PC∥ 平面MEF，试求PM∶MA的值；

(3)当M的是PA中点时，求二面角M－EF－N的余弦值．

Answer

【解析】
法1：（1）连结，

∵平面，平面，

∴，……………………… 1分

又∵，，

∴平面，…………………. 2分

又∵，分别是、的中点，

∴，………………………….3分

∴平面，又平面，

∴平面平面；……………4分

（2）连结，

∵平面，平面平面，

∴，

∴，故 ………………………………………8分

（3）∵平面，平面，∴，

在等腰三角形中，点为的中点，∴，

∴为所求二面角的平面角， ……………………………9分

∵点是的中点，∴，

所以在矩形中，

可求得，，，………………………10分

在中，由余弦定理可求得，

∴二面角的余弦值为．……………………………………12分

法2：（1）同法1；

（2）建立如图所示的直角坐标系，则，，，，

∴，，

设点的坐标为，平面的法向量为，则，

       所以，即，令，则，，

故，

∵平面，∴，即，解得，

故，即点为线段上靠近的四等分点；

故 …………………………………………………………………8分

（3），则，设平面的法向量为，

则，即，………9分

令，则，，

即，……………………………10分

当是中点时，，

则，

∴，

∴二面角的余弦值为．……12分

【解析】略