Question

设函数，其中.(Ⅰ)若，求在上的最小值；

（Ⅱ）如果在定义域内既有极大值又有极小值，求实数的取值范围；

（Ⅲ）是否存在最小的正整数，使得当时，不等式恒成立.

Answer

（Ⅰ）由题意知，的定义域为，

时，由，得（舍去），

当时，，  当时，，

所以当时，单调递减；当时，单调递增，

所以；    …………………………………………5分

（Ⅱ）由题意在有两个不等实根，即在有两个不等实根，设，则，解之得；   ………………………………………………………………10分

（Ⅲ）令函数，则，

，所以函数在上单调递增，

又时，恒有，

即恒成立. 故在时恒成立.

取，则有恒成立.即恒成立.

显然，存在最小的正整数，使得当时，不等式恒成立.

【解析】略