Question

如图，在三棱锥中，，，侧面为等边三角形，侧棱．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：平面平面；

（Ⅲ）求二面角的余弦值

Answer

（Ⅰ）证明略

（Ⅱ）证明略

（Ⅲ）

【解析】【解析】
（Ⅰ）设中点为，连结，，………… 1分

∵，所以.

又，所以.   ………………… 2分

∵，所以平面.

∵平面，所以.   ……… 4分

（Ⅱ）由已知，，

∴，.

又为正三角形，且，∴. …………………… 6分

∵，所以.

∴.

由（Ⅰ）知是二面角的平面角.

∴平面平面.        …………………………………………… 8分

（Ⅲ）方法1：由（Ⅱ）知平面.

过作于，连结，则.

∴是二面角的平面角. ………………………………… 10分

在中，易求得.

∵，所以.   ………………………… 12分

∴.

即二面角的余弦值为.   …………………………………… 13分

方法2：由（Ⅰ）（Ⅱ）知，，两两垂直.      ……………………… 9分

以为原点建立如图所示的空间直角坐标系.

易知，，，.

∴，.   ……………………… 10分

设平面的法向量为，

则 即

令，则，.

∴平面的一个法向量为.    ……………………… 11分

易知平面的一个法向量为.

∴.  …………………………………… 12分

由图可知，二面角为锐角.

∴二面角的余弦值为.  …………………………………… 13分