Question

设椭圆：的左、右焦点分别为，上顶点为，过点与垂直的直线交轴负半轴于点，且，若过，，三点的圆恰好与直线：相切. 过定点的直线与椭圆交于，两点（点在点，之间）.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线的斜率，在轴上是否存在点，使得以，为邻边的平行四边形是菱形. 如果存在，求出的取值范围，如果不存在，请说明理由；

（Ⅲ）若实数满足，求的取值范围.

Answer

（Ⅰ）

（Ⅱ）

（Ⅲ）

【解析】（Ⅰ）【解析】
因为，

所以为中点.

设的坐标为，

因为，

所以，，且过三点的圆的圆心为，半径为.           ………………………… 2分

因为该圆与直线相切，所以.

解得，所以，.

    故所求椭圆方程为.    …………………………………… 4分

（Ⅱ）设的方程为（），

    由 得.

    设，，则.……………………5分

    所以.

              =

.

由于菱形对角线互相垂直，则.……………………6分

    所以.

故.

    因为，所以.

    所以

即.

所以

解得. 即.

因为，所以.

故存在满足题意的点且的取值范围是. ……………… 8分

（Ⅲ）①当直线斜率存在时，

设直线方程为，代入椭圆方程

得.

由，得.       …………………………………………… 9分

设，，

则，.  

又，所以. 所以. …… 10分

所以，.

所以.  所以.

整理得.       ……………………………………… 11分

因为，所以. 即. 所以.

解得.

又，所以.  …………………………………… 13分

②又当直线斜率不存在时，直线的方程为，

此时，，，，

，所以.

所以，即所求的取值范围是. ……………… 14分