Question

（本小题满分12分）

   已知函数是定义在上的奇函数，当，（其中是自然对数的底，）

   （1）求的解析式；

   （2）设，求证：当时，

   （3）是否存在实数，使得当时，的最小值是3？如果存在，求出实数的值；如果不存在，请说明理由。

Answer

（1）

（2）略

（3）存在实数，使得时，有最小值3

【解析】【解析】
（1），则

    所以

    又因为是定义在上的奇函数，

    所以…………2分

    故函数的解析式为

    ……3分

   （2）证明：当

   设

    因为

    所以当时，

    此时单调递减…………5分

    当，此时单调递增

    所以的最小值为

    又因为

    所以当时，，此时单调递减

    所以的最大值为的最小值

    所以当时，…………8分

   （3）假设存在实数，使得当，时，有最小值为3

    则…………9分

①  当时，在区间单调递增，

最小值为，不满足最小值是3

    ②当在区间上单调递增，的最小值是，也不满足最小值3

    ③当，

    故函数增函数。

    所以的最小值为，解得（舍去）

    ④当时，，此时函数是减函数

    当，

    此时函数是减函数

    所以的最小值为，解得……611分

    综上可知，存在实数，使得时，有最小值3…………12分